Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Бином Ньютона и треугольник Паскаля

Математика, наравне с философией и астрономией, считается древнейшей наукой, ведь числа были в истории человечества с незапамятных времен. Простые законы сокращенного умножения, которые являются основой формулы бинома Ньютона, были известны еще в Древней Греции, Вавилоне и в некоторых арабских странах. Одним из первых ученых, открывших некоторые законы преобразования многочленов считается древнегреческий математик Пифагор, живший в 6 веке до н.э.

В древности было принято отождествлять алгебраические формулы в виде геометрических фигур. Так, в 3 веке до н.э. древнегреческий геометр Евклид издал свои знаменитые «Начала», состоявший из 13 томов. В них ученый описал десять основных алгебраических тождеств. Древнегреческие математики обозначали выражения и формулы не в виде чисел, а в виде геометрических фигур и отрезков.

Это было проще для восприятия, но занимало много места для вычислений. Проще говоря, произведение ab выглядело как обычный прямоугольник, ab в степени 2 как квадрат и так далее. Первым ученым, постаравшимся отойти от геометрических канонов в сторону цифр считается древнегреческий математик Диофант Александрийский, живший в 3 веке до н.э. Диофант выразил формулы квадрата суммы и квадрата разности с помощью алгебраических выражений. Ну а учеными, которых принято называть основателями современной арифметики, стали математики Виет и Декарт, жившие в 16 веке.

Существуют сведения, что первым человеком, открывшим формулу возведения бинома в n-ю степень: (a+b)n стал персидский математик и поэт Омар Хайям еще в 12 веке, однако достоверных данных этому утверждению, к сожалению, нет. Прошло более пяти столетий, прежде чем данную формулу удалось вывести на новый уровень европейскому ученому Исааку Ньютону. Выражение, с помощью которого можно возвести сумму слагаемых в произвольную степень была впервые предложена Ньютоном в 1664 – 1665 году. В будущем эта формула получила название бинома Ньютона, в честь своего основателя.

Формула бинома была известна математикам еще задолго до ее открытия самим Ньютоном, в частности: ал-Караджи (5 век), ат-Туси, Ферма, Паскалю и другим. Собственно, Ньютон представил формулу без строгого доказательства, а сделал это Якоб Бернулли в 1713 году. Назревает справедливый вопрос, в чем именно заслуга английского ученого и почему именно ему приписывают ее авторство? Дело в том, что именно Ньютон первым предложил универсальную формулу для возведения бинома в любую степень: целую, дробную, иррациональную и отрицательную. В настоящее время, возведение в дробную степень умеет делать любой школьник, но в 17 веке это оказалось настоящим прорывом. До Ньютона было принято возводить многочлены только в целые степени.

Думаем, многие замечали, что понятие бинома Ньютона тесно связано с треугольником Паскаля. Здесь нет никакого секрета, просто Блез Паскаль вскоре после открытия формулы предложил удобный инструмент для более простого ее решения. С помощью треугольника Паскаля можно наглядно возводить бином в степень n, имеющую небольшое значение, обычно до 4.

На первый взгляд кажется, что треугольник Паскаля громоздкий и сложный в освоении, но это только на первый взгляд. Ведь как известно, любой многочлен раскладывается на сумму полиномов, а в каждом полиноме на одно слагаемое больше, чем степень n. В свою очередь в каждом слагаемом общее число степеней равняется значению степени, в которую возводится бином. Степени начинаются со значения степени бинома n, а затем уменьшаются до 0. В целом, треугольник Паскаля не поможет вам быстрее решить формулу бинома Ньютона, он лишь облегчит процесс освоения данной темы и хорошо подойдет для людей, у которых визуальное восприятие более развито, чем абстрактное.