Бином Ньютона: в чем его уникальность

Бином Ньютона: в чем его уникальность

Пожалуй, каждый человек слышал имя великого ученого Исаака Ньютона. Все мы со школьной скамьи помним три бессмертных закона Ньютона, которые являются столпом современной физики. Однако, кроме того, что Ньютона можно назвать одним из величайших физиков всех времен, он также считается не менее выдающимся математиком. Наибольший вклад в алгебру английский ученый внес, выразив собственную формула бинома, которая впоследствии была названа его именем. К слову, выражение бинома Ньютона было запечатлено на надгробной плите Исаака, в знак одного из величайших открытий того времени.

И вот, спустя более чем 300 лет бином Ньютона остается популярным вопросом в экзаменационных билетах при поступлении в высшие учебные заведения. Изучение бинома из года в год то включали в школьную программу, то оставляли данную тему для дополнительного внеклассного изучения. Принято считать, что этот раздел алгебры достаточно сложен для восприятия человеком, не имеющим глубоких знаний в дисциплине. Тем не менее, если разобраться подробнее в данном вопросе, становится понятно, что бином Ньютона — это всего лишь формула разложения натуральной степени двучлена, а это знания из средней школы.

Для начала стоит разобраться, что такое бином вообще, и почему он так называется. Следует немного вспомнить алгебраическую терминологию. Как мы уже упоминали ранее, бином — это разложение многочлена. Многочлен в свою очередь является полиномом, то есть суммой некоторого числа слагаемых. Например, x1 + x2 + x3 +…+ xn. А бином — это ничто иное, как сумма двух слагаемых: x1 + x2. Биномом также может быть сумма двух переменных неизвестных, например, x + y. Но, как уже можно было догадаться, формула бинома Ньютона, это не просто сумма двух переменных. Ее смысл намного глубже. Так, давайте разберемся, для чего именно Ньютон разработал свое известное выражение.

Уникальность формулы бинома заключается в том, что с помощью нее можно возводить сумму двух слагаемых в любую произвольную степень, а не только равную двум, как это было раньше. Поэтому, главной задачей бинома Ньютона считается вычисление пределов функций.

Решить квадрат суммы (а + b)2 и куб суммы (а + b)3 достаточно просто, все мы помним эти формулы с уроков по алгебре. А вот при возведении в более высокие степени могут возникнуть трудности. Чтобы не запутаться в коэффициентах и применяется формула бинома Ньютона. В общем виде она выглядит так:

(a + b)n = an + n/1!an-1b + n(n − 1)/2!an−2b +…+bn.

C первого взгляда формула выглядит громоздкой и кажется, что выучить ее очень сложно, однако, следует просто понять принцип ее построения и все станет на свои места. Если проанализировать формулу, то можно заметить, что в каждом многочлене присутствует произведения чисел an и bn c коэффициентом 1. Также путем анализа становится ясно, что любой многочлен представлен в виде произведения степеней суммы слагаемых: а + b.

Вскоре после создания выражения Ньютоном, не менее известный ученый Блез Паскаль разработал специальный треугольник для облегчения определения коэффициентов в формуле. Именно с помощью треугольника Паскаля легко выводятся формулы квадрата и куба суммы многочленов. С помощью треугольника можно самостоятельно вывести выражение бинома Ньютона. К слову, многие ученые приписывают Паскалю не только создание треугольника, но и формулы бинома в целом. Впрочем, сейчас мы уже так и не узнаем правду, однако, факт того, что бином Ньютона остается важнейшим инструментом в современной математики, не вызывает сомнения.