Что такое бином Ньютона в математике

Что такое бином Ньютона в математике

Исаак Ньютон за свою жизнь сделал множество знаковых открытий в различных науках. Формулы и законы, открытые английским ученым, до сих пор носят фундаментальный характер в физике, математике и астрономии. Ньютон с помощью чисел смог доказать, что на нашей планете существует всемирное тяготение, помог определить расстояние до звезд и многое другое. Пожалуй, все слышали о формуле бинома Ньютона, которая считается основополагающей в современной комбинаторике. И если вы думаете, что данный раздел алгебры нужен для того, чтобы пугать им школьников и студентов, то вы заблуждаетесь. Комбинаторика является основой многих языков программирования, статистик, баз данных и так далее.

История Ньютона — это яркий пример того, каких высот может добиться человек, посвятивший всю свою жизнь любимому делу. Несмотря на то, что Исаак родился в семье обычного фермера, к концу жизни он считался одним из величайших физиков и математиков. Его труды публиковались по всему миру, а в 1705 году Ньютон даже удостоился рыцарского титула от самой королевы.

Но вернемся ближе к теме и рассмотрим подробнее бином Ньютона, обсудим для чего он нужен и какие операции с помощью него можно выполнять.

Если не вдаваться в сложную математическую терминологию бином Ньютона — это формула, позволяющая разложить сумму двух переменных, возведенную в любую степень. Ньютон открыл формулу в далеком 1664 году и до наших дней она не потерпела ни каких изменений и считается универсальной.

Формула бинома Ньютона состоит из основополагающих элементов — биномов, или как их принято называть биномиальных коэффициентов. В случае, если некоторое число n будет положительным при спектре r > n, все остальные переменные станут 1. Именно поэтому биномиальное разложение имеет определенное количество конечных переменных.

Как уже упоминалось ранее формула бинома Ньютона напрямую связана с комбинаторикой. «Биномом» в алгебре называется числовой двучлен, а сама формула представляет собой двучленное выражение, возведенное в n-ю степень. Для человека, слабо сведущего в математике данное выражение может показаться сложным, но для опытного ученого доказать его не составит труда. К слову, сам Ньютон официально представил формула бинома в 1676 году без доказательства. Это сделали уже потом, но в то время она стала настоящим открытием. И даже несмотря на то, что формулу бинома нельзя назвать самым великим открытием Ньютона, после смерти ученого выражение выгравировали на его могильной плите.

Всего существует восемь основных свойств бинома Ньютона, но для ознакомления можно ознакомится с тремя основными. Первое свойство заключается в том, что переменная a, являясь составной частью многочлена раскрывается по степеням по мере их убывания, а переменная b по степеням возрастания. Сумма (a + b) будет тождественна степенному показателю бинома. Число переменных бинома будет всегда на одно число больше, чем степень, в которую он возведен.

Второе свойство гласит о том, что в любой многочленной паре, в которой переменные стоят на одинаковом расстоянии между началом и концом многочлена, они будут симметричные.

А третье свойство заключается в том, что при возведении в n-ю степень разницы переменных (a – b), то при раскрытии бинома все четные переменные будут отрицательные.

В заключении хочется отметить, что выражение, похожее на современную формулу бинома описывали различные ученые задолго до Ньютона. Например, в 1265 году азиатский математик ат-Туси предложил выражение разложение многочлена. Известный поэт и математик Омар Хайям тоже предпринял попытки выразить закон комбинаторики, но именно Ньютону удалось создать универсальную формулу.