Комбинаторика и бином Ньютона

Комбинаторика и бином Ньютона

Впервые термин комбинаторика был предложен в середине 17 века известным немецким математиком Готфридом Лейбницем. Лейбниц наравне с Исааком Ньютон считается также основатель дифференциального и интегрального исчисления. В 1666 году немецкий ученый опубликовал свой известный трактат под названием «Рассуждение о комбинаторном искусстве». В нем Лейбниц произвел множество операций с многочленами, возводя их в различные степени и находя различные k-е сочетания. Кроме формул сочетаний ученый составил таблицы до двенадцатой степени, которые позволяли быстро определить численные коэффициенты.

Кроме собственно вычислений и их доказательств, в своем трактате Лейбниц рассуждает о проблемах комбинаторики и ее роли в мире. Ученый считал, что комбинаторика — нечто большее, чем просто раздел в математики. Он представлял ее как часть любого исследования и даже произведения искусства. Несмотря на то, что Лейбниц уделил почти всю жизнь изучении комбинаторики, он не смог сделать самого главного — создать универсальную формулу, с помощью которой можно возвести любой многочлен в любую степень. А справился с этой задачей несколькими годами позже в 1676 году английский ученый Исаак Ньютон. Формула бинома Ньютона считается важнейшим инструментом в современной комбинаторике. Формула позволяет возводить биномы в любую n-ю степень. Однако и сам Ньютон не смог придумать доказательства для своего выражения, а удалось это спустя почти сорок лет Якобу Бернулли.

В 1713 году он опубликовал труд «Искусство предположений», в котором с помощью метода неполной индукции смог вывести и доказать формулу бинома Ньютона. Трактат вышел лишь спустя восемь лет после смерти автора. Вторая часть «Искусства предположений» была полностью посвящена комбинаторике. В ней Бернулли смог превзойти существующие работы в этой области систематичностью, подробными доказательствами и информативными иллюстрациями. В связи с этим в течении долгих лет «Искусство предположений» использовался не только как серьезный научный трактат, но и в качестве учебного пособия.

В течении последующих двух столетий комбинаторика имела достаточно медленное развитие. В конце 18 века ученые, входящие в состав комбинаторной школы Гинденбурга предприняли попытку сформулировать единую комбинаторную теорию с помощью бесконечных рядов. В рамках исследования ученые изучали множество вариантов преобразования рядов: умножение, деление, суммирование, возведение в степень, изъятия из корня и т.д., однако, четко сформулированную теорию так и не удалось получить.

В середине 20 века комбинаторика потерпела сильные изменения. Повсеместная компьютеризация вынудила выйти данную науку на новый уровень развития. Благодаря трудам математиков Дж.-К. Рота (1964), а затем Р. Стенли удалось подвергнуть комбинаторику процессу алгебраизации. В это время ее стало принято считать частью математики, а не как отдельную науку. Несмотря на прошедшее время формула бинома Ньютона носит ключевое значение в современной комбинаторике, ее можно сравнить по значимости с таблицей Менделеева в химии или законом всемирного тяготения в физике.