Свойства биномиальных коэффициентов

Свойства биномиальных коэффициентов

Трудно переоценить вклад Исаака Ньютона в математику, физику и астрономию. Помимо открытия трех законов механики Ньютон уделял также много времени математике. Однако любимой сферой изучения в этой науке для него стала комбинаторика. В 17 веке комбинаторика еще не была частью математики, а считалась отдельной наукой. Ньютону понадобилось более десяти лет, прежде чем он смог создать универсальную формулу разложения двучлена (бинома) в произвольную степень n. Случилось это в 1665 – 1966 году, однако окончательная версия формулы была представлена ученым широкой публике в 1676 году. Данное выражение известно сейчас, как формула бинома Ньютона.

Понятием «бином» в математике называют двучлен. Бином подразумевают формулу разложения суммы отдельных слагаемых, возведенных в целую степень. Каждый, наверняка, помнит формулы сокращенного умножения для степеней квадрата и куба. В них нет ничего сложного, и каждую из них при желании можно выучить наизусть. Но есть ли смысл заучивать формулы, если всех их объединяет общий принцип вычисления. Даже если вы забыли формулы сокращенного выражения функции (a + b)2 и (a + b)3 их можно решить путем обычного поочередного умножения слагаемых из скобок.

Скорее всего вы зададитесь вопросом можно ли без помощи компьютера или инженерного калькулятора самостоятельно решить формулу бинома Ньютона для более высоких степеней, скажем 10 или 20. Естественно, если открывать скобки для таких больших степеней, то решение может оказаться слишком длинным и запутанным. Но не спешите расстраиваться. В свое время ученый Блез Паскаль придумал замечательный инструмент для решения формулы бинома Ньютона более простым способом, названый позже треугольником Паскаля. Используя значения биномиальных коэффициентов составляются строки наподобие пирамиды, можно найти нужные числовые комбинации.

Чтобы возвести сумму произвольных чисел в любую степень n достаточно в левой части выражения записать (a + b)b, а в правой аn + аn-1b + … + bn. В каждом слагаемом необходимо оставить свободное место для биномиального коэффициента, который мы можем найти из треугольника Паскаля из конкретной строчки, соответствующей определенной n-ой строчке.

У формулы бинома Ньютона, как и у любого математического выражения есть характерные особенности или свойства. Число слагаемых при открытии бинома всегда на одну единицу больше, чем размер степени, в которую возводится бином. Коэффициенты бинома Ньютона можно найти двумя способами: используя треугольник Паскаля или количество сочетаний Cnk, где n — это степень, в которую возводится двучлен, а k — переменное число, которое изменяется от 0 до n.

Еще одно свойство гласит, что все коэффициенты симметричны. Это означает, что при открытии бинома коэффициенты будут сначала возрастать до степени, в которую возводится бином, а затем также уменьшаться. Также следует учесть, если в степень возводится не сумма, а разность, то при разложении бинома на слагаемые, знаки + и – расставляются поочередно. Еще одно свойство утверждает, что сумма степеней биномиальных коэффициентов должна быть равна размеру степени, в которую возводится бином. Зная эти основные свойства можно всегда контролировать правильность разложения двучлена по формуле бинома Ньютона.