Свойства разложения степеней бинома Ньютона

Свойства разложения степеней бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона может быть решена как минимум двумя способами: алгебраическим разложением полиномов и с помощью треугольника Паскаля. Впервые формулу бинома Ньютона доказал как ни странно другой ученый, а именно Якоб Бернулли в 1713 году. К слову, как и у любого математического выражения у формулы бинома Ньютона есть восемь основных свойств разложения степеней, которые мы рассмотрим подробнее в этой статье.

Первое свойство заключается в том, что по мере возрастания номера (k+1) члена разложения показателя степени, буква a всякий раз уменьшается на 1 от n до 0., а степень числа b увеличивается на 1 от 0 до n. В результате сумма разложения бинома (a + b) всегда равняется значению степени n.
Второе свойство гласит, что количество чисел разложения бинома в итоге равно (n+1).

Согласно третьему свойству при решении формулы Сnn-k = Cnk биноминальные коэффициенты, которые находятся на одинаковом расстоянии от коэффициентов разложения симметричны.
    
Четвертое свойство демонстрирует нам, что из формулы бинома Ньютона (k + 1)-го члена разложения наблюдается тенденция, при которой при переходе от одного коэффициента к другому числители умножаются на все меньшие и меньшие числа (на n – 1, n – 2, n – 3 и так далее), а знаменатели умножаются на все большие числа (на 2, 3, 4 и т.д.). Из-за этого биномиальные коэффициенты сначала увеличиваются, а потом симметрично уменьшаются. Это условие имеет силу, когда числа в числителе биномиальных коэффициентов больше, чем числа в знаменателе.

В свою очередь, коэффициенты разложения находятся на одинаковом расстоянии от суммы разложения, поэтому наибольшие степени коэффициентов располагаются посередине выражения. Кроме того, если сумма членов разложения нечетная (при четной степени n), то в центре выражение будет находится член с наибольшим коэффициентом. А если сумма членов разложения четная, то в центре выражения будут находится два члена с коэффициентом наибольшего значения.
    
В пятом свойстве указывается, что согласно равенству Σnk=0 Cnk = 2n сумма биномиальных коэффициентов тождественна 2n. Это свойство вытекает также из самого разложения a = b = 1.
    
Шестое свойство говорит, что, заменив в разложении b на –b мы получим разложение с аргументами в отрицательной степени. Здесь, в отличие от исходного разложения, знаки плюс и минус чередуются за счет множителя (–1)n.
    
В рамках седьмого свойства предположим, что a = b = 1. Получится, что в результате разложения бинома сумма коэффициентов при нечетных аргументах тождественна
сумме коэффициентов, которые располагаются в четном порядке.

И напоследок, восьмое свойство утверждает, что в соответствии с формулой бинома Ньютона, сумма биномов для степеней 2, 3 и 4 вычисляется по известным рекуррентным формулам. Именно на их основании строится треугольник Паскаля, с помощью которого можно произвести дальнейшее разложение бинома.