Вывод формулы Бинома Ньютона

Вывод формулы Бинома Ньютона

На данный момент известно три способа обоснования формулы Бинома Ньютона. Каждый из них обладает своими особенностями, но в целом они имеют одинаковую структуру. Все три способа вывода формулы бинома Ньютона основаны на понятии математической индукции.

В рамках первого способа полная индукция позволяет произвести общий вывод формулы на рассмотрении любого конечного числа в рамках каждого частного случая. Сумма чисел a + b, как и в целом любой двучлен называется биномом. Методом полной индукции можно доказать формулу бинома Ньютона находя все биномиальные коэффициенты путем подставления вместо общего члена k числа от 0 до n.

Второй способ подразумевает вывод формулы на примере неполной индукции. Данный метод позволяет получить лишь правдоподобный, а не общий вывод путем анализа преобладающего количества конечных чисел в большинстве частных случаев. Метод неполной индукции обычно применяется для образования гипотез, которые впоследствии необходимо доказать или опровергнуть. Главной задачей в доказательстве формулы бинома Ньютона методом неполной математической индукции является правильно сформулированное исходное выражение.

Для того, чтобы понять, о чем идет речь рассмотрим пример многочлена, возведенный в произвольную степень n: (a + b)n. Данный вид многочлена принято называть биномом. Именно для решения подобного выражения используется формула бинома Ньютона. В данном случае, a и b — произвольные числа, как и бывает в большинстве решаемых задач. Исходя из правила возведения в натуральную степень: (a + b)n = (a + b) ∙ (a + b) … (a + b). Далее необходимо присвоить каждому отдельному множителю степени от 1 до n. Подмножества, которые при разложении имеют вид an-k ∙ bk принято называть биномиальными коэффициентами. Путем применения данного выражения для раскрытия биномов в произвольной степени можно достаточно просто доказать формулу бинома Ньютона. Именно, основываясь на методе неполной индукции в 1713 году математик Якоб Бернулли смог впервые предоставить доказательство биномиального распределения.

Третий способ основывается на применении математической индукции. Он заключается в доказательстве универсальных высказываний путем разложения натуральных чисел. Основным инструментом данного способа является понятие аксиоматики Пеана, итальянского математика, который внес значительный вклад в развитие комбинаторики. Пеан разработал три аксиомы, которые демонстрируют свойства, умножения, суммирования и нахождения наименьшего значения в любом множестве натуральных чисел. Именно из трех аксиом Пеана раскрывается принцип математической индукции. Доказательства формулы бинома Ньютона методом математической индукции имеет достаточно сложный и громоздкий характер, поэтому мало применяется на практике.

В заключении хочется отметить, что доказательство формулы бинома Ньютона до сих пор пользуется популярностью при проверке знаний учеников на олимпиадах по математике или во время вступительных экзаменах в университет.